【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是正方形,
平面
,
分別是線段
,
的中點(diǎn),
.
求證:
平面
;
求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】(1)取中點(diǎn)
,連接
,易得四邊形
為平行四邊形,從而
所以∥平面
;(2)
平面
,且四邊形
是正方形,
兩兩垂直,以
為原點(diǎn),
,
,
所在直線為
軸,建立空間直角坐標(biāo)系
,求出平面
與平面
的法向量,代入公式得到所成銳二面角的余弦值.
解: 方法一:
取中點(diǎn)
,連接
,
分別是
中點(diǎn),
,
為
中點(diǎn),
為正方形,
,
,
四邊形
為平行四邊形,
平面
,
平面
,
平面
.
方法二:
取中點(diǎn)
,連接
,
.
是
中點(diǎn),
是
中點(diǎn),
,
又是
中點(diǎn),
是
中點(diǎn),
,
,
,
又,
平面
,
平面
,
平面
,
平面
,
平面
平面
.
又平面
,
平面
.
方法三:
取中點(diǎn)
,連接
,
,
在正方形中,
是
中點(diǎn),
是
中點(diǎn)
又是
中點(diǎn),
是
中點(diǎn),
,
又,
,
,
平面
//平面
.
平面
平面
.
方法四:
平面
,且四邊形
是正方形,
兩兩垂直,以
為原點(diǎn),
,
,
所在直線為
軸,建立空間直角坐標(biāo)系
,
則
,
則設(shè)平面法向量為
,
則, 即
, 取
,
,
所以
,又
平面
,
∥平面
.
平面
,且四邊形
是正方形,
兩兩垂直,以
為原點(diǎn),
,
,
所在直線為
軸,建立空間直角坐標(biāo)系
,
則
設(shè)平面法向量為
,
,
則, 即
,
取,
則設(shè)平面法向量為
,
則, 即
, 取
,
.
平面
與平面
所成銳二面角的余弦值為
.
(若第一問用方法四,則第二問部分步驟可省略)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,函數(shù)
.
(1)若關(guān)于的方程
的解集中恰有一個(gè)元素,求
的值;
(2)設(shè),若對(duì)任意
,函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值與最小值的差不超過
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn),現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨機(jī)抽取8次,記錄如下:
甲:82,81,79,78,95,88,93,84;乙:92,95,80,75,83,80,90,85
(1) 用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù),并計(jì)算平均數(shù)與方差;
(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度(在平均數(shù)、方差或標(biāo)準(zhǔn)差中兩個(gè))考慮,你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適?請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
,且函數(shù)
是偶函數(shù).
(1)求的解析式;.
(2)若不等式在
上恒成立,求n的取值范圍;
(3)若函數(shù)恰好有三個(gè)零點(diǎn),求k的值及該函數(shù)的零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
,且函數(shù)
是偶函數(shù).
(1)求的解析式;
(2)若不等式在
上恒成立,求
的取值范圍;
(3)若函數(shù)恰好有三個(gè)零點(diǎn),求
的值及該函數(shù)的零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)E是正方形ABCD邊AD的中點(diǎn),現(xiàn)將△ABE沿BE所在直線翻折成到△A'BE,使A’C=BC,并連接A'C,A'D.
(1)求證:DE∥平面A'BC;
(2)求證:A'E⊥平面A'BC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為的菱形
中,
.點(diǎn)
,
分別在邊
,
上,點(diǎn)
與點(diǎn)
,
不重合,
,
.沿
將
翻折到
的位置,使平面
平面
.
(1)求證:平面
;
(2)當(dāng)與平面
所成的角為
時(shí),求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四邊形中,
,
,
.將四邊形
沿對(duì)角線
折成四面體
,使平面
平面
,則下列結(jié)論中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是( )
①;②
;
③與平面
所成的角為
;
④四面體的體積為
.
A.個(gè)B.
個(gè)C.
個(gè)D.
個(gè)
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