Question

設(shè)x，y∈R，i，j為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x軸、y軸正方向上的單位向量，若向量a=xi+(y+

2

)j，b=xi+(y-

2

)，且|a|+|b|=4．
（I）求點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（II）若軌跡C上在第一象限的一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，作斜率為

2

的直線l與軌跡C交于不同兩點(diǎn)A、B，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）條件“|a|+|b|=4”可以看成是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為4，聯(lián)想橢圓的定義解決“點(diǎn)P（x，y）的軌跡C”；
（II）△AOB的面積取到最大值問(wèn)題，要先建立關(guān)于某個(gè)自變量的函數(shù)，后再求此函數(shù)的最大值即可．

解答：解：（I）∵a=xi+(y+

2

)j，b=xi+(y-

2

)，且|a|+|b|=4
∴點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)（ 0，

2

），（0，-

2

）的距離之和為4，
故點(diǎn)P的軌跡方程為

x 2

4

+

y 2

2

=1．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）依題意得，直線AB的方程y=

2

x+m，代入橢圓方程，得4x²+2

2

mx+m²-4=0，
則x₁+x₂=-

2

2

m，x₁•x₂=

1

4

（m²-4），
又O點(diǎn)到AB的距離d=

|m|

3

，
因此，S_△AOB=

1

2

|AB|•d
=

1

2

•

(1+1)[(x1+x2) 2-4x1x2]

•

|m|

3

=

1

2

1 2 (8-m)2•m2

≤

2

，
∴當(dāng)8-m²=m²時(shí)，即m=±

2

時(shí)，S_max=

2

．

點(diǎn)評(píng)：（1）平面向量與解析幾何的結(jié)合通常涉及軌跡等問(wèn)題的處理，目標(biāo)是將幾何問(wèn)題坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算，或者考慮向量運(yùn)算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關(guān)問(wèn)題．（2）直線l與點(diǎn)P的軌跡的交點(diǎn)問(wèn)題，組成方程組解決．