Question

甲乙兩運動員進行射擊訓練，已知他們擊中目標的環(huán)數(shù)都穩(wěn)定在7，8，9，10環(huán)，且每次射擊成績互不影響，射擊環(huán)數(shù)的頻率分布表如下，
甲運動員

乙運動員

若將頻率視為概率，回答下列問題，
（1）求甲運動員擊中10環(huán)的概率
（2）求甲運動員在3次射擊中至少有一次擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的概率
（3）若甲運動員射擊2次，乙運動員射擊1次，ξ表示這3次射擊中擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的次數(shù)，求ξ的分布列及Eξ．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的表格，根據(jù)樣本容量和概率的特點得到表格中的未知數(shù)，由表格得到甲運動員擊中10環(huán)的概率，可以求出兩個運動員射中任意環(huán)的概率．
（2）由表格看出甲運動員在一次射擊中擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的概率，甲運動員在3次射擊中至少有一次擊中9環(huán)以上的對立事件是甲射擊3次一次也沒有擊中9環(huán)，用對立事件的概率做出結(jié)果．
（3）要射擊3次，ξ表示這3次射擊中擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的次數(shù)的取值是0、1、2、3，根據(jù)互斥事件和相互獨立事件同時發(fā)生的概率做出結(jié)果分布列和期望．

解答：解：由題意知：10+10+x+35=100，
∴x=45，
y=

35

100

=0.35，
8+12+z+80×0.35=80，
∴z=32，
（1）設(shè)“甲運動員擊中10環(huán)”為事件A，
P（A）=0.35
∴甲運動員擊中10環(huán)的概率為0.35．
（2）設(shè)甲運動員擊中9環(huán)為事件A₁，擊中10環(huán)為事件A₂
則甲運動員在一次射擊中擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的概率
P=（A₁+A₂）=P（A₁）+P（A₂）
=0.45+0.35=0.8
∴甲運動員在3次射擊中至少有一次擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的概率
P=1-[1-P（A₁+A₂）]³=1-0.2³=0.992
（3）ξ的可能取值是0，1，2，3
P（ξ=0）=0.2²×0.25=0.01
P（ξ=1）=C₂¹×0.2×0.8×0.25+0.2²×0.75=0.11
P（ξ=2）=0.8²×0.25+C₂¹×0.8×0.2×0.75=0.4
P（ξ=3）=0.8²×0.75=0.48
所以ξ的分布列是

∴Eξ=0×0.01+1×0.11+2×0.4+3×0.48=2.35．

點評：考查運用概率知識解決實際問題的能力，相互獨立事件是指，兩事件發(fā)生的概率互不影響，而對立事件是指同一次試驗中，不會同時發(fā)生的事件，遇到求用至少來表述的事件的概率時，往往先求它的對立事件的概率．