Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=x²-4x-1在區(qū)間[t，t+2]上的最小值為g（t），試求函數(shù)y=g（t）的最小值，并作出函數(shù)y=g（t）的圖象，其中t∈R

Answer 1

分析：用配方法對解析式進(jìn)行變形，求出對稱軸后根據(jù)它與區(qū)間的位置關(guān)系，分三種情況t≥2、0＜t＜2和t≤0，利用二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求解．

解答：解：f（x）=x²-4x-1=（x-2）²-5，則對稱軸x=2，分三種情況求解：
①當(dāng)t≥2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上是增函數(shù)，
∴最小值為g（t）=f（t）=t²-4t-1，
②當(dāng)0＜t＜2時，對稱軸在區(qū)間[t，t+2]內(nèi)，
∴最小值為g（t）=-5，
③當(dāng)t≤0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上是減函數(shù)，
∴最小值為g（t）=f（t+2）=t²-5，
綜上，g（t）=

t2-4t-1   t≥2 -5          0＜t＜2 t2-5        t≤0

，在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象．

點評：本題考查了閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問題，需討論圖象的對稱軸與定義域間的關(guān)系，需用分類討論法或圖象求g（t）的最小值，即g（t）是關(guān)于t的分段函數(shù)；對于二次函數(shù)區(qū)間最值主要有三種類型，軸定區(qū)間定、軸定區(qū)間動和軸動區(qū)間定．