Question

下列命題中，真命題的序號有

③④

．（寫出所有真命題的序號）
①當x＞0且x≠1時，有l(wèi)nx+

1

lnx

≥2；
②函數(shù)f（x）=lg（ax+1）的定義域是{x|x＞-

1

a

}；
③函數(shù)f（x）=e^-xx²在x=2處取得極大值；
④若sin（α+β）=

1

2

，sin（α-β）=

1

3

，則tanαcotβ=5．

Answer 1

分析：通過特例判斷①的正誤；通過a的符號判斷②的正誤；利用導數(shù)與極值的關系判斷③的正誤；利用兩角和與差的三角函數(shù)計算④判斷正誤即可．

解答：解：對于①當x＞0且x≠1時，有l(wèi)nx+

1

lnx

≥2，不正確，例如x=

1

2

，左側是負數(shù)，不正確；
對于②函數(shù)f（x）=lg（ax+1）可知ax＞-1，當a＞0時函數(shù)的定義域是{x|x＞-

1

a

}；a＜0時函數(shù)的定義域是{x|x＜-

1

a

}；
所以②不正確；
對于③函數(shù)f（x）=e^-xx²，f′（x）=-e^-xx²+2e^-xx，令-e^-xx²+2e^-xx，解得x=2，
當x＜2時導函數(shù)f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)，
當x＞2時f′（x）＜0，函數(shù)是奇函數(shù)，
所以函數(shù)在x=2處取得極大值；正確．
對于④若sin（α+β）=

1

2

=sinαcosβ+cosαsinβ，
sin（α-β）=

1

3

=sinαcosβ-cosαsinβ，
解得sinαcosβ=

5

12

，cosαsinβ=

1

12

，
∴tanαcotβ=5，正確．
故答案為：③④．

點評：本題是綜合題，考查函數(shù)與導數(shù)的關系最值的求法，兩角和與差的三角函數(shù)，函數(shù)的定義域的求法，基本不等式的應用，考查計算能力．