Question

如圖，設(shè)P是圓x²+y²=2上的動(dòng)點(diǎn)，PD⊥x軸，垂足為D，M為線段PD上一點(diǎn)，且|PD|=

2

|MD|，點(diǎn)A、F₁的坐標(biāo)分別為（0，

2

），（-1，0）．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）求|MA|+|MF₁|的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）確定M、P坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用P是圓x²+y²=2上的動(dòng)點(diǎn)，即可求軌跡；
（2）由（1）知，M的軌跡方程是橢圓，F(xiàn)₁是左焦點(diǎn)，設(shè)右焦點(diǎn)為F₂，利用|MA|+|MF₁|=2

2

+|MA|-|MF₂|≤2

2

+|AF₂|=2

2

+

3

，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），P的坐標(biāo)為（x_p，y_p）
∵PD⊥x軸，垂足為D，M為線段PD上一點(diǎn)，且|PD|=

2

|MD|，
∴x_p=x，y_p=

2

y 
∵P是圓x²+y²=2上的動(dòng)點(diǎn)，
∴x²+2y²=2；
（2）由（1）知，M的軌跡方程是橢圓，F(xiàn)₁是左焦點(diǎn)，設(shè)右焦點(diǎn)為F₂，坐標(biāo)為（1，0）
∴|MA|+|MF₁|=2

2

+|MA|-|MF₂|≤2

2

+|AF₂|=2

2

+

3

當(dāng)A，F(xiàn)₂，M三點(diǎn)共線，且M在AF₂延長(zhǎng)線上時(shí)，取等號(hào)
直線AF₂的方程為x+

y

2

=1，與橢圓方程聯(lián)立，解得x=

4+ 6

5

，y=

2 -2 3

5

∴所求最大值為2

2

+

3

，此時(shí)M的坐標(biāo)為（

4+ 6

5

，

2 -2 3

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，考查最值問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．