Question

(07年四川卷理)（12分）已知函數(shù)，設(shè)曲線在點處的切線與軸的交點為，其中為正實數(shù)．

（Ⅰ）用表示；

(Ⅱ) 證明：對一切正整數(shù)的充要條件是

（Ⅲ）若，記，證明數(shù)列成等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式。

Answer 1

本題綜合考察數(shù)列、函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等知識，以及推理論證、計算及解決問題的能力。

解析：（Ⅰ）由題可得

所以過曲線上點的切線方程為，

即

令，得，即

顯然 ∴

（Ⅱ）證明：（必要性）

若對一切正整數(shù)，則，即，而，∴，即有

（充分性）若，由

用數(shù)學(xué)歸納法易得，從而，即

又 ∴

于是，

即對一切正整數(shù)成立

（Ⅲ）由，知，同理，

故

從而，即

所以，數(shù)列成等比數(shù)列，故，

即，從而

所以