Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，，其中是的導(dǎo)函數(shù).

（1）令，，，求的表達(dá)式；

（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）求出的解析式，依次計(jì)算即可得出猜想；
（2）已知恒成立，即 恒成立．

設(shè) (x≥0)，

則φ′(x)＝=－＝，

對(duì) 進(jìn)行討論，求出 的最小值，令 恒成立即可；

詳解：

由題設(shè)得，g(x)＝ (x≥0)．

(1)由已知，g1(x)＝，

g2(x)＝g(g1(x))＝＝，

g3(x)＝，…，可得gn(x)＝.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．

①當(dāng)n＝1時(shí)，g1(x)＝，結(jié)論成立．

②假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即gk(x)＝.

那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝，

即結(jié)論成立．

由①②可知， 結(jié)論對(duì)n∈N＋成立．

所以gn(x)＝.

(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立．

設(shè)φ(x)＝ln(1＋x)－ (x≥0)，

則φ′(x)＝=－＝，

當(dāng)a≤1時(shí)，φ′(x)≥0(僅當(dāng)x＝0，a＝1時(shí)等號(hào)成立)，

∴φ(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，又φ(0)＝0，

∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，

∴a≤1時(shí)，ln(1＋x)≥恒成立(僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立)．

當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a－1]上單調(diào)遞減，

∴φ(a－1)<φ(0)＝0，

即a>1時(shí)，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥不恒成立．

綜上可知，a的取值范圍是(－∞，1]．