Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，AC∩BD=O． （Ⅰ）證明：PC⊥BD
（Ⅱ）若E是PA的中點，且△ABC與平面PAC所成的角的正切值為 ，求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）因為底面是菱形，所以BD⊥AC．
又PB=PD，且O是BD中點，所以BD⊥PO．
PO∩AC=O，所以BD⊥面PAC．
又PC面PAC，所以BD⊥PC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，OE是BE在面PAC上的射影，
所以∠OEB是BE與面PAC所成的角．
在Rt△BOE中， ，BO=1，所以 ．
在Rt△PEO中， ， ，所以 ．
所以 ，又 ，
所以PO2+AO2=PA2 ， 所以PO⊥AO．
又PO⊥BD，BD∩AO=O，所以PO⊥面ABCD．
方法一：
過O做OH⊥EC于H，由（Ⅰ）知BD⊥面PAC，所以BD⊥EC，所以EC⊥面BOH，BH⊥EC，
所以∠OHB是二面角A﹣EC﹣B的平面角．
在△PAC中， ，所以PA2+PC2=AC2 ， 即AP⊥PC．
所以 ．
，得 ，
， ，所以二面角A﹣EC﹣B的余弦值為
方法二：
如圖，以 建立空間直角坐標系，

，B（0，1，0）， ， ， ， ， ．
設面BEC的法向量為 ，則 ，
即 ，得方程的一組解為 ，
即 ．
又面AEC的一個法向量為 ，
所以 ，所以二面角A﹣EC﹣B的余弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）證明BD⊥AC，BD⊥PO，推出BD⊥面PAC，然后證明BD⊥PC．（Ⅱ）說明OE是BE在面PAC上的射影，∠OEB是BE與面PAC所成的角．利用Rt△BOE，在Rt△PEO中，證明PO⊥AO．推出PO⊥面ABCD． 方法一：說明∠OHB是二面角A﹣EC﹣B的平面角．通過求解三角形求解二面角A﹣EC﹣B的余弦值．方法二：以 建立空間直角坐標系，求出平面BEC的法向量，平面AEC的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面垂直的性質(zhì)的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行．