Question

如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，ABEF是矩形，且二面角C-AB-F是直二面角，AF=1，G是EF的中點(diǎn)．
（1）求證：平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB與平面AGC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：CB⊥面ABEF，所以有CB⊥AG，CB⊥BG，根據(jù)線(xiàn)段的長(zhǎng)度關(guān)系可得：AB²=AG²+BG²，即可得到AG⊥BG，再利用面面垂直的判斷定理可得面面垂直．
（2）由（1）知，面ACG⊥面BGC，且交于GC，在平面BGC內(nèi)作BH⊥GC，垂足為H，則BH⊥平面AGC，所以∠BGH是BG與平面AGC所成的角，即∠CGB為所求角，進(jìn)而利用解三角形的有關(guān)知識(shí)求出答案．

解答：解：（1）證明：∵正方形ABCD，
∴CB⊥AB．
∵二面角C-AB-F是直二面角，
∴CB⊥面ABEF．
∵AG，GB?面ABEF，
∴CB⊥AG，CB⊥BG，…（2分）
又∵AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中點(diǎn)，
∴AG=BG=

2

a，AB=2a，AB2=AG2+BG2，
∴AG⊥BG．…（4分）
∵CB∩BG=B，
∴AG⊥平面GBC，
又∵AG?面ACG，
∴平面AGC⊥平面BGC．…（6分）
（2）由（1）知，面ACG⊥面BGC，且交于GC，在平面BGC內(nèi)作BH⊥GC，垂足為H，則BH⊥平面AGC，
所以∠BGH是BG與平面AGC所成的角，即∠CGB為所求角，…（8分）
因?yàn)镚為EF的中點(diǎn)，并且BE=1，EF=2，
所以BG=

2

．
在Rt△BCG中，BC=2，BG=

2

，所以CG=

6

，
所以sin∠BGC=

BC

CG

=

6

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握面面垂直的判斷定理與解三角形的有關(guān)知識(shí)，以及線(xiàn)面角的作法，而求空間角步驟是：作角，證角，求角，而作角是關(guān)鍵．