Question

設(shè)點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，且

PF1

?

PF2

的最小值為0，則橢圓的離心率為（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

  2

• D、

  3

  4

Answer 1

分析：先設(shè)點(diǎn)P（x，y），表示出

PF1

•

PF2

，然后消去y，得到關(guān)于x的二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值，從而得到a，b，c的等量關(guān)系，求出離心率．

解答：解：設(shè)點(diǎn)P（x，y）為橢圓C上任意一點(diǎn)，則

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∴y²=b²（1-

x2

a2

），
∴

PF1

•

PF2

=（x+c，y）（x-c，y）=x²+y²-c²=x²+b²（1-

x2

a2

）-c²=（1-

b2

a2

）x²+b²-c²≥b²-c²，
∵

PF1

•

PF2

的最小值為0，
∴b²-c²=0，
則a²=b²+c²=2c²，
∴

c2

a2

=

1

2

=e²
即e=

2

2

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，以及向量數(shù)量積的應(yīng)用和二次函數(shù)的最值，同時(shí)考查了分析問題的能力，屬于中檔題．