Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₂線(xiàn)與圓x²+y²=b²相切于點(diǎn)A，并與橢圓C交與不同的兩點(diǎn)P，Q，如圖，PF₁⊥PQ，若A為線(xiàn)段PQ的靠近P的三等分點(diǎn)，則橢圓的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：連接OA，PF₁，則OA⊥PQ，PF₁⊥PQ，因?yàn)锳為線(xiàn)段PQ的靠近P的三等分點(diǎn)，所以A為線(xiàn)段PA的中點(diǎn)，于是PF₁=2b．結(jié)合橢圓的定義有PF₂=2a-2b，由此能求出橢圓的離心率．
解答：解：連接OA，PF₁，
則OA⊥PQ，又PF₁⊥PQ，可得OA∥PF₁
因?yàn)锳為線(xiàn)段PQ的靠近P的三等分點(diǎn)，所以A為線(xiàn)段PF₂的中點(diǎn)，
于是PF₁=2b．
結(jié)合橢圓的定義有PF₂=2a-2b，
在直角三角形PF₁F₂中，
利用勾股定理得（2a-2b）²+（2b）²=（2c）²，
將c²=a²-b²代入，
整理可得b=a，
于是e====．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：離心率問(wèn)題是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，各省考查頻率相當(dāng)高，往往融橢圓、雙曲線(xiàn)的定義與平面幾何的性質(zhì)與一體，能夠較好的考查學(xué)生的思維層次，備受命題專(zhuān)家的青睞．此題結(jié)合圓、橢圓、切線(xiàn)等知識(shí)，含金量高．