【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)有兩個零點,求
的取值范圍;
(Ⅱ)證明:當時,關(guān)于
的不等式
在
上恒成立.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(Ⅰ)由題意,可利用導數(shù)法來進行求解,由,轉(zhuǎn)換為
,即將問題轉(zhuǎn)化為曲線
與直線
有兩交點,求
的取值范圍,構(gòu)造函數(shù)
,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間,再求函數(shù)
的最值,從而問題可得解;
(Ⅱ)由題意,將問題轉(zhuǎn)化為:當時,不等式
在
上恒成立,可構(gòu)造函數(shù)
,并證明其最大值
在區(qū)間
上成立即可.
試題解析:(Ⅰ)令,∴
;
令,∴
,
令,解得
,令
,解得
,
則函數(shù)在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,∴
.
要使函數(shù)有兩個零點,則函數(shù)
的圖象與
有兩個不同的交點,
則,即實數(shù)
的取值范圍為
.
(Ⅱ)∵,∴
.
設(shè),
,∴
,
設(shè),∴
,則
在
上單調(diào)遞增,
又,
,
∴,使得
,即
,∴
.
當時,
,
;當
時,
,
;
∴函數(shù)在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,
∴
.
設(shè),∴
,
當時,
恒成立,則
在
上單調(diào)遞增,
∴,即當
時,
,
∴當時,關(guān)于
的不等式
在
上恒成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召,因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn):某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量(單位:千克)與施用肥料
(單位:千克)滿足如下關(guān)系:
,肥料成本投入為
元,其它成本投入(如培育管理、施肥等人工費)
元.已知這種水果的市場售價大約為15元/千克,且銷路暢通供不應(yīng)求.記該水果樹的單株利潤為
(單位:元).
(Ⅰ)求的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)當施用肥料為多少千克時,該水果樹的單株利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓,直線
.
(1)求證:對直線
與圓
總有兩個不同的交點;
(2)是否存在實數(shù),使得圓
上有四個點到直線
的距離為
?若存在,求出
的范圍,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】《周脾算經(jīng)》有記載:一年有二十四個節(jié)氣,每個節(jié)氣晷(gui)長損益相同,晷是按照日影測定時刻的儀器,晷長即所測定的影子的長度,二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示,相鄰兩個節(jié)氣晷長變化量相同,周而復始,若冬至晷長最長是一丈三尺五寸,夏至晷長最短是一尺五寸,(一丈等于10尺,一尺等于10寸),則秋分節(jié)氣的晷長是( )
A.七尺五寸B.二尺五寸C.五尺五寸D.四尺五寸
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列為等差數(shù)列,
,
,數(shù)列
的前
項和為
,且有
.
(1)求、
的通項公式;
(2)若,
,求使
成立的
的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知三棱柱的底面是正三角形,側(cè)面
為菱形,且
,平面
平面
,
、
分別是
、
的中點.
(1)求證:平面
;
(2)求證:;
(3)求與平面
所成角的大小.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓與
軸相切于點(0,3),圓心在經(jīng)過點(2,1)與點(﹣2,﹣3)的直線
上.
(1)求圓的方程;
(2)圓與圓
:
相交于M、N兩點,求兩圓的公共弦MN的長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為發(fā)揮體育在核心素養(yǎng)時代的獨特育人價值,越來越多的中學已將某些體育項目納入到學生的必修課程,甚至關(guān)系到是否能拿到畢業(yè)證.某中學計劃在高一年級開設(shè)游泳課程,為了解學生對游泳的興趣,某數(shù)學研究性學習小組隨機從該校高一年級學生中抽取了100人進行調(diào)查,其中男生60人,且抽取的男生中對游泳有興趣的占,而抽取的女生中有15人表示對游泳沒有興趣.
(1)試完成下面的列聯(lián)表,并判斷能否有
的把握認為“對游泳是否有興趣與性別有關(guān)”?
有興趣 | 沒興趣 | 合計 | |
男生 | |||
女生 | |||
合計 |
(2)已知在被抽取的女生中有6名高一(1)班的學生,其中3名對游泳有興趣,現(xiàn)在從這6名學生中隨機抽取3人,求至少有2人對游泳有興趣的概率.
(3)該研究性學習小組在調(diào)查中發(fā)現(xiàn),對游泳有興趣的學生中有部分曾在市級和市級以上游泳比賽中獲獎,如下表所示.若從高一(8)班和高一(9)班獲獎學生中各隨機選取2人進行跟蹤調(diào)查,記選中的4人中市級以上游泳比賽獲獎的人數(shù)為,求隨機變量
的分布列及數(shù)學期望.
班級 | |||||||||||
市級比賽 獲獎人數(shù) | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 3 | 3 | 4 | 2 | |
市級以上比賽獲獎人數(shù) | 2 | 2 | 1 | 0 | 2 | 3 | 3 | 2 | 1 | 2 |
0.500 | 0.400 | 0.250 | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
.
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