Question

設(shè)函數(shù) f（x）=ax³+bx+c是定義在R上的奇函數(shù)，且函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程y=3x+2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x） 的表達式；
（Ⅱ）若對任意x∈（0，1]都有f（x）＜

m

x

成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求a，b，c的值，可由函數(shù)f（x）=ax³+bx+c是定義在R上的奇函數(shù)，且函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y=3x+2轉(zhuǎn)化為方程解出a，b，c的值；
（II）若對任意x∈（0，1]都有f（x）＜

m

x

成立，求實數(shù)k的取值范圍，可轉(zhuǎn)化為對任意x∈（0，1]都有xf（x）≤m，下轉(zhuǎn)化為求函數(shù)xf（x）在（0，1]的最大值，判斷出參數(shù)的取值范圍問題；

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）=ax³+bx+c是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∵a（-x）³+b（-x）+c=-（ax³+bx+c），
∴c=0．                                       （2分）
又f（x）在x=1處的切線方程為y=3x+2，
由f'（x）=3ax²+b，
∴f'（1）=3，且f（1）=5，
∴

3a+b=3 a+b=5

得

a=-1 b=6

．                        （5分）
∴f（x）=-x³+6x…6分
（II）f（x）=-x³+6x，
依題意 -x3+6x≤

m

x

對任意x∈（0，1]恒成立，
∴-x⁴+6x²≤m對任意x∈（0，1]恒成立，…（7分）
即  m≥-（x²-3）²+9對任意x∈（0，1]恒成立，
∴m≥5．                                         （9分）
即m的取值范同是（5，+∞）．…12分．

點評：本題考查導數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用導數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，判斷出函數(shù)的最值，本題第三小題是一個恒成立的問題，恒成立的問題一般轉(zhuǎn)化最值問題來求解，本題即轉(zhuǎn)化為用單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的問題，求出最值再判斷出參數(shù)的取值．本題運算量過大，解題時要認真嚴謹，避免變形運算失誤，導致解題失敗．