Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)， 和1是的兩個(gè)零點(diǎn)，且，求的值；

（2）若，且是的兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：當(dāng)時(shí)， .

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，代入，1是的零點(diǎn)，所以求出，然后求得在遞增，在遞減，利用零點(diǎn)存在性確定；（2）令，則，令，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求其最小值．

試題解析：（1）由，得，

因?yàn)?/span>是函數(shù)一個(gè)極值點(diǎn)，1是的零點(diǎn)，所以，

即，解得，

于是，

令，由，解得，

則當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，

于是在遞增，在遞減，

因?yàn)?/span>和1是的兩個(gè)零點(diǎn)，且，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，則．

（2）由，得，

則，

由是的兩個(gè)極值點(diǎn)，得是方程的兩根1和．

不妨令，則，即，

由，得，即，由，解得，此時(shí)，

于是當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，

所以在上遞減，在遞增，在遞減．

于是在處取極小值，在處取極大值．

從而，

令，則，

令，則，

令，則，

因?yàn)?/span>，所以，則遞增，所以，

即，所以遞增，

于是，即．