Question

（2013•奉賢區(qū)二模）位于A處的雷達(dá)觀測(cè)站，發(fā)現(xiàn)其北偏東45°，與A相距20

2

海里的B處有一貨船正以勻速直線行駛，20分鐘后又測(cè)得該船只位于觀測(cè)站A北偏東45°+θ（0°＜θ＜45°）的C處，AC=5

13

．在離觀測(cè)站A的正南方某處E，cos∠EAC=-

2 13

13

（1）求cosθ； 
（2）求該船的行駛速度v（海里/小時(shí)）．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin∠EAC的值，根據(jù)cosθ=cos(

3π

4

-∠EAC)，利用兩角差的余弦公式求得結(jié)果．
（2）利用余弦定理求得BC的值，而且BC這段距離該船行駛了20分鐘，由此求得該船的行駛速度．

解答：解：（1）∵cos∠EAC=-

2 13

13

，∴sin∠EAC=

1-cos2∠EAC

=

3 13

13

．（2分）
∴cosθ=cos(

3π

4

-∠EAC)=cos

3π

4

•cos∠EAC+sin

3π

4

•sin∠EAC=-

2

2

×(-

2 13

13

)+

2

2

×

3 13

13

=

5 26

26

．（6分）
（2）利用余弦定理求得 BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosθ=125，∴BC=5

5

．（10分）
又該船以勻速直線行駛了20分鐘的路程為5

5

海里，
該船的行駛速度v=

5 5

1 3

=15

5

（海里/小時(shí)）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．