Question

下列四個(gè)命題：①(a+

1

a

)2n的常數(shù)項(xiàng)是第n項(xiàng)；②（a+b）²ⁿ的前n項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和等于后n項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和，均等于2^2n-1；③(2a+

1

a

)n展開式中a的正指數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和大于a的負(fù)指數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和；④（3x+28x²-1）⁹⁹•（5x-7x²+2）⁸的常數(shù)項(xiàng)是2⁸其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)可得當(dāng)r=n時(shí)即T_r+1是常數(shù)項(xiàng)．②展開式共有2n+1項(xiàng)，并且所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和2²ⁿ．
③a正指數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為C_n⁰2ⁿ+C_n¹2^n-1+C_n²2^n-2+…，a的負(fù)指數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為C_nⁿ2⁰+C_n^n-12¹+C_n^n-22²+…．
④常數(shù)項(xiàng)是-2⁸．

解答：解：①由題意可得：(a+

1

a

)2n展開式的通項(xiàng)為T_r+1=C_2n^ra^2n-2r，所以當(dāng)r=n時(shí)即T_r+1是常數(shù)項(xiàng)，所以①錯(cuò)誤．
②由題意可得：（a+b）²ⁿ的展開式共有2n+1項(xiàng)，并且所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和2²ⁿ，所以展開式的前n項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和與后n項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和均等于2^2n-1錯(cuò)誤，所以②錯(cuò)誤．
③(2a+

1

a

)n展開式的通項(xiàng)為T_r+1=2^n-rC_n^ra^n-2r，a正指數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為C_n⁰2ⁿ+C_n¹2^n-1+C_n²2^n-2+…，a的負(fù)指數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為C_nⁿ2⁰+C_n^n-12¹+C_n^n-22²+…，所以③正確．
④（3x+28x²-1）⁹⁹•（5x-7x²+2）⁸=[（3x+28x²）-1]⁹⁹•[（5x-7x²）+2]⁸的常數(shù)項(xiàng)是-2⁸，所以④錯(cuò)誤．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，以及二項(xiàng)展開式的有關(guān)性質(zhì)與通項(xiàng)．