Question

（2012•寧德模擬）在一定面積的水域中養(yǎng)殖某種魚類，每個(gè)網(wǎng)箱的產(chǎn)量P是網(wǎng)箱個(gè)數(shù)x的一次函數(shù)，如果放置4個(gè)網(wǎng)箱，則每個(gè)網(wǎng)箱的產(chǎn)量為24噸；如果放置7個(gè)網(wǎng)箱，則每個(gè)網(wǎng)箱的產(chǎn)量為18噸，由于該水域面積限制，最多只能放置12個(gè)網(wǎng)箱．已知養(yǎng)殖總成本為50+2x萬元．
（1）試問放置多少個(gè)網(wǎng)箱時(shí)，總產(chǎn)量Q最高？
（2）若魚的市場(chǎng)價(jià)為1萬元/噸，應(yīng)放置多少個(gè)網(wǎng)箱才能使每個(gè)網(wǎng)箱的平均收益最大？

Answer 1

分析：（1）設(shè)出一次函數(shù)，利用條件，求出函數(shù)解析式，即可求得總產(chǎn)量函數(shù)，再利用配方法，即可求得最大值；
（2）確定總收益函數(shù)，求得平均收益，利用基本不等式求最值．

解答：解：（1）設(shè)p=ax+b，由已知得

24=4a+b 18=7a+b

，∴

a=-2 b=32

∴p=-2x+32
∴Q=px=（-2x+32）x=-2（x-8）²+128（x∈N₊，x≤12）
∴當(dāng)x=8時(shí)，f（x）最大
即放置8個(gè)網(wǎng)箱時(shí)，可使綜產(chǎn)量達(dá)到最大
（2）收益為y=（-2x²+32）×1-（50+2x）（x∈N₊，x≤12）
∴

y

x

=-2x-

50

x

+30（x∈N₊，x≤12）
∵2x+

50

x

≥20（當(dāng)且僅當(dāng)2x=

50

x

，即x=5時(shí)取等號(hào)）
∴y≤-20+30=10
即x=5時(shí)，y_max=10

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查基本不等式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是建立函數(shù)模型，屬于中檔題．