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          是否存在a、b、c使得等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=
          n(n+1)12
          （an2+bn+c）．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：首先假設存在a、b、c使題設的等式成立，令n=1，2，3，可求得a、b、c的值，令Sn=1•22+2•32+…+n（n+1）2
          用數(shù)學歸納法予以證明即可．
          解答：解：假設存在a、b、c使題設的等式成立，
          這時令n=1，2，3，有
          4=
          1
          6
          (a+b+c)
          22=
          1
          2
          (4a+2b+c)
          70=9a+3b+c
          解得：
          a=3
          b=11
          c=10
          ．
          于是，對n=1，2，3下面等式成立
          1•22+2•32+…+n（n+1）2=
          n(n+1)
          12
          (3n2+11n+10)
          記Sn=1•22+2•32+…+n（n+1）2
          證明：①由前面可知，當n=1時，等式成立，
          ②設n=k時上式成立，即Sk=
          k(k+1)
          12
          （3k2+11k+10）
          那么Sk+1=Sk+（k+1）（k+2）2=
          k(k+1)
          12
          （k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）2
          =
          (k+1)(k+2)
          12
          （3k2+5k+12k+24）
          =
          (k+1)(k+2)
          12
          [3（k+1）2+11（k+1）+10]
          也就是說，等式對n=k+1也成立．
          綜上所述，當a=3，b=11，c=10時，題設對一切自然數(shù)n均成立．
          點評：本題考查數(shù)學歸納法，首先要求得a、b、c的值，考查方程思想，其次再用數(shù)學歸納法證明，證明時的難點在n=k+1，注意項數(shù)的變化與理解，屬于難題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c．
          （1）若f（-1）=0，試判斷函數(shù)f（x）零點個數(shù)；
          （2）若對?x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），試證明?x0∈（x1，x2），使f(x0)=
          1
          2
          [f(x1)+f(x2)]          成立．
          （3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件①對?x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②對?x∈R，都有0≤f(x)-x≤
          1
          2
          (x-1)2          ．若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c．
          （1）若f（-1）=0，試判斷函數(shù)f（x）零點個數(shù)；
          （2）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件：①對任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②對任意x∈R，都有0≤f(x)-x≤
          12
          (x-1)2          ，若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c．
          （1）若f（-1）=0，試判斷函數(shù)f（x）零點個數(shù)；
          （2）若對x1x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），證明方程f（x）=
          1
          2
          [f(x1)+f(x2)]          必有一個實數(shù)根屬于（x1，x2）．
          （3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件
          ①當x=-1時，函數(shù)f（x）有最小值0；
          ②對任意x∈R，都有0≤f（x）-x≤
          (x-1)2
          2
          若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c
          （1）若f（-1）=0，試判斷函數(shù)f（x）零點個數(shù)；
          （2）若對任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2）（a＞0），試證明：
          1
          2
          [f（x1）+f（x2）]＞f（
          x1+x2
          2
          ）成立．
          （3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件：
          ①對任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；
          ②對任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤
          1
          2
          (x-1)2          ？若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c．
          （1）若f（-1）=0，試判斷函數(shù)f（x）零點的個數(shù)；
          （2）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件：
          ①對任意x∈R，f（-1+x）=f（-1-x），且f（x）≥0；
          ②對任意x∈R，都有0≤f（x）-x≤
          1
          2
          （x-1）2．若存在，求出a，b，c的值；若不存在，請說明理由．
          （3）若對任意x1、x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），試證明：存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=
          1
          2
          [f（x1）+f（x2）]成立．
          

			
          

			
          
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