Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，，求證：.

Answer 1

【答案】(1) 的單調(diào)遞增區(qū)間為，不存在遞減區(qū)間.(2)見(jiàn)證明

【解析】

(1)求出，研究函數(shù)的正負(fù)情況即可明確的正負(fù)情況，即可得到的單調(diào)區(qū)間；

(2) 設(shè)，證明，要證明

只需證明.

解法一：（1）的定義域?yàn)?/span>，時(shí)，

,

所以

當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增；

所以，所以在單調(diào)遞增，

即的單調(diào)遞增區(qū)間為，不存在遞減區(qū)間.

（2）設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減；

所以

所以時(shí)，

即，要證明

只需證明

由（1）知，在單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)時(shí)，，即

所以當(dāng)時(shí)，

所以只需證明，即證明

設(shè)，則

所以在單調(diào)遞增，所以，所以原不等式成立.

綜上，當(dāng)，時(shí)，

解法二：（1）同解法一

（2）同解法一得只需證明

設(shè)，則

,

由得，即

因?yàn)?/span>，所以

又因?yàn)?/span>，所以

因?yàn)?/span>，所以

所以，在單調(diào)遞增，所以

所以在單調(diào)遞減，所以，即

綜上，當(dāng)，時(shí)，

解法三：（1）同解法一

（2）同解法一得要證明，只需證明，

即證明，設(shè)

則

由，得，即，所以，

所以在單調(diào)遞增，所以

即，所以

綜上，當(dāng)，時(shí)，

解法四：（1）同解法一

（2）同解法一得要證明，只需證明，

即證明，設(shè)

，設(shè)，

因?yàn)?/span>，所以，所以在單調(diào)遞減，

所以，

所以在單調(diào)遞增，所以

即，所以

綜上，當(dāng)，時(shí)，