Question

已知a＞0，b＞0，且a+b="1." 求證: (a+)(b+)≥.

Answer 1

證明略

證法一:(分析綜合法）
欲證原式，即證4(ab)²+4(a²+b²)－25ab+4≥0，
即證4(ab)²－33(ab)+8≥0，即證ab≤或ab≥8.
∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立
∵1=a+b≥2，∴ab≤，從而得證.
證法二：(均值代換法)
設a=+t₁，b=+t₂.
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t₁+t₂=0，|t₁|＜，|t₂|＜

顯然當且僅當t=0，即a=b=時，等號成立.
證法三:(比較法）
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤

證法四：(綜合法)
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤.
   
證法五：(三角代換法）
∵a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin²α，b=cos²α，α∈(0，)