Question

【題目】等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 已知對(duì)任意的n∈N+ ， 點(diǎn)（n，Sn）均在函數(shù)y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)的圖象上．
（1）求r的值．
（2）當(dāng)b=2時(shí)，記bn=2（log2an+1）（n∈N+），證明：對(duì)任意的n∈N+，不等式成立 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：（1）因?yàn)閷?duì)任意的n∈N+，點(diǎn)（n，Sn），

均在函數(shù)y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)的圖象上．

所以得Sn=bn+r，當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=b+r，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=bn+r﹣（bn﹣1+r）=bn﹣bn﹣1=（b﹣1）bn﹣1，

又因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，所以r=﹣1，公比為b，an=（b﹣1）bn﹣1

（2）當(dāng)b=2時(shí)，an=（b﹣1）bn﹣1=2n﹣1，bn=2（log2an+1）=2（log22n﹣1+1）=2n

則 ，

所以

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 成立．

當(dāng)n=1時(shí)，左邊= ，右邊= ，

因?yàn)? ，所以不等式成立．

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，

即 成立

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

左邊=

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．

由①、②可得不等式恒成立

【解析】本題考查的數(shù)學(xué)歸納法及數(shù)列的性質(zhì)．（1）由已知中因?yàn)閷?duì)任意的n∈N+ ， 點(diǎn)（n，Sn），均在函數(shù)y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)的圖象上．根據(jù)數(shù)列中an與Sn的關(guān)系，我們易得到一個(gè)關(guān)于r的方程，再由數(shù)列{an}為等比數(shù)列，即可得到r的值．（2）將b=2代入，我們可以得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再由bn=2（log2an+1）（n∈n），我們可給數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可將不等式 進(jìn)行簡化，然后利用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)其進(jìn)行證明．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)學(xué)歸納法的定義的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法．