Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x
（1）證明：對(duì)一切x∈R，都有f（x）≥1
（2）證明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（n+1）（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）先求出f′（x）=0的值，再討論滿(mǎn)足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來(lái)確定極值，從而求出函數(shù)的最值；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可知當(dāng)x＞0時(shí)，x＞ln（x+1），將1，

1

2

，

1

3

，…

1

n

分別代入，然后將同向不等式對(duì)應(yīng)相加，化簡(jiǎn)即可求得．

解答：解：（1）由f′（x）=e^x-1=0，得x=0
∵當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）＜0
∴f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)
∴[f（x）]_min=f（0）=1
∴x∈R時(shí)，f（x）≥1
（2）由（1）可知：當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞x+1，即x＞ln（x+1）
則1＞ln2，

1

2

＞ln(

1

2

+1)，，

1

n

＞ln(

1

n

+1)
1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln2+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

=ln（n+1）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，以及利用同向不等式的加法證明不等式，屬于中檔題．