Question

已知函數(shù)，f（x）=x³+bx²+cx+d在點（0，f（0））處的切線方程為2x-y-1=0．
（1）求實數(shù)c，d的值；
（2）若過點P（-1，-3）可作出曲線y=f（x）的三條不同的切線，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）若對任意x∈[1，2]，均存在t∈（1，2]，使得et-lnt-4≤f（x）-2x，試求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點（0，f（0））在切線上得f（0）=-1，且f′（0）=2，聯(lián)立可解得c，d；
（2）設切點為Q（x，y），易求切線方程，把點P（-1，-3），代入并整理得，由題意，方程有兩個不同的非零實根，據(jù)此得到不等式組，解出可得b的范圍；
（3）不等式et-lnt-4≤f（x）-2x，即et-lnt≤x³+bx²+3，由題意可知，et-lnt的最小值應小于或等于x³+bx²+3對任意x∈[1，2]恒成立，構造函數(shù)h（t）=et-lnt，用導數(shù)可求得h（t）_min，分離參數(shù)后再構造函數(shù)，轉化為求函數(shù)最值即可；
解答：（1）f'（x）=3x²+2bx+c，由題意得，切點為（0，-1），
則，解得． 
（2）設切點為Q（x，y），則切線斜率為，，
所以切線方程為，即，
又切線過點P（-1，-3），代入并整理得，
由題意，方程有兩個不同的非零實根，
所以，解得，
故實數(shù)b的取值范圍為（-∞，0）∪（0，1）∪（9，+∞）．   
（3）由（1）知，f（x）=x³+bx²+2x-1，則不等式et-lnt-4≤f（x）-2x，即et-lnt≤x³+bx²+3，
由題意可知，et-lnt的最小值應小于或等于x³+bx²+3對任意x∈[1，2]恒成立，
令h（t）=et-lnt，則，令h'（t）=0，解得，列表如下：

t
h'（t）	-		+
h（t）	↘	極小值	↗

因此，h（t）的最小值為．                    
所以2≤x³+bx²+3對任意x∈[1，2]恒成立，即對任意x∈[1，2]恒成立，
令，則，令g'（x）=0，解得，列表如下：

x	1				2
g'（t）		+		-
g（t）	-2	↗	極大值	↘

因此，g（x）的最大值為，所以．
點評：本題考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)求函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立問題，考查轉化思想，考查學生綜合運用知識解決問題的能力．