Question

已知矩形ABCD中，，BC=1．以AB的中點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系xoy．
（1）求以A，B為焦點，且過C，D兩點的橢圓的標準方程；
（2）過點P（0，2）的直線l與（1）中的橢圓交于M，N兩點，是否存在直線l，使得以線段MN為直徑的圓恰好過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得點A，B，C的坐標，設(shè)出橢圓的標準方程，根據(jù)題意知2a=AC+BC，求得a，進而根據(jù)b，a和c的關(guān)系求得b，則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+2．與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)判別式大于0求得k的范圍，設(shè)M，N兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂，進而根據(jù)若以MN為直徑的圓恰好過原點，推斷則，得知x₁x₂+y₁y₂=0，根據(jù)x₁x₂求得y₁y₂代入即可求得k，最后檢驗看是否符合題意．
解答：解：（1）由題意可得點A，B，C的坐標分別為．
設(shè)橢圓的標準方程是．
則2a=AC+BC，
即，所以a=2．
所以b²=a²-c²=4-2=2．
所以橢圓的標準方程是．

（2）由題意知，直線l的斜率存在，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2．
由得（1+2k²）x²+8kx+4=0．
因為M，N在橢圓上，
所以△=64k²-16（1+2k²）＞0．
設(shè)M，N兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
則，
若以MN為直徑的圓恰好過原點，則，
所以x₁x₂+y₁y₂=0，
所以，x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，
即（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，
所以，，即，
得k²=2，
經(jīng)驗證，此時△=48＞0．
所以直線l的方程為，或．
即所求直線存在，其方程為．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程以及直線與橢圓的關(guān)系．在設(shè)直線方程時一定要看斜率的存在情況，最后還要檢驗斜率k是否符合題意．