Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a_n=

n

n-1

an-1+2n•3n-2(n≥2，n∈N*)．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

（1）a₁=1，且a_n=

n

n-1

an-1+2n•3n-2(n≥2，n∈N*)，
當(dāng)n=2時(shí)，a₂=6，n=3時(shí)，a₃=27，n=4時(shí)，a₄=108…（3分）
（2）猜想：an=n•3n-1…（5分）
證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；…（6分）
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即ak=k•3k-1，則
當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=

k+1

k

ak+2(k+1)•3k-1=

k+1

k

k•3k-1+2(k+1)•3k-1
=（k+1）•3^k=（k+1）•3^（k+1）-1
∴當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．…（10分）
綜上（1）（2）可知，對(duì)?n∈N*，an=n•3n-1恒成立．…（12分）