Question

已知函數(shù)f(x)=

-x2+6x+e2-5e-2，x≤e x-2lnx，x＞e

（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，且e≈2.718）若f（6-a²）＞f（a），則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：利用二次函數(shù)的單調(diào)性，及導(dǎo)數(shù)工具，先探討函數(shù)的單調(diào)性，然后利用條件列出不等式，即可解得a的范圍．

解答：解：∵f(x)=

-x2+6x+e2-5e-2，x≤e x-2lnx，x＞e

∴當(dāng)x≤e時y=-（x-3）²+e²-5e+7∴x≤e時函數(shù)單調(diào)遞增 當(dāng)x＞e時y'=1-

2

x

＞0恒成立，故x＞e時函數(shù)單調(diào)遞增，
∵f（e）=e-2=e-2lne∴函數(shù)在R上為增函數(shù)．
∴由f（6-a²）＞f（a）得6-a²＞a，
解得-3＜a＜2
故答案為-3＜a＜2

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，在探討分段函數(shù)的性質(zhì)時注意分段研究．本題是個中檔題．