Question

過點B（0，1）的直線l₁交曲線x=2于P（2，y₀），過點B'（0，-1）的直線l₂交x軸于P'（x₀，0）點，

x0

2

+y0=1，l₁∩l₂=M．
（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與C相交于不同的兩點S、T，已知點S的坐標(biāo)為（-2，0），點Q（0，m）在線段ST的垂直平分線上且

QS

•

QT

≤4，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定直線l₁、l₂的方程，聯(lián)立方程可得動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，確定線段ST的中點坐標(biāo)，分類討論，利用

QS

•

QT

≤4，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由題意，直線l₁的方程是y=-

1-y0

2

x+1，
∵

x0

2

+y0=1，∴l(xiāng)₁的方程是y=-

x 0

4

x+1
若直線l₂與y軸重合，則M（0，1）；
若直線l₂不與y重合，可求得直線l₂的方程是y=

1

x0

x-1，與l₁的方程聯(lián)立消去x₀得

x2

4

+y2=1，
因l₁不經(jīng)過（0，-1），故動點M的軌跡C的方程是

x2

4

+y2=1（y≠-1）…（5分）
（Ⅱ）設(shè)T（x₁，y₁），直線l的方程為y=k（x+2）(k≠-

1

2

)
于是S、T兩點的坐標(biāo)滿足方程組

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，由方程消去y并整理得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
由-2x₁=

16k2-4

1+4k2

得x₁=

2-8k2

1+4k2

，從而y₁=

4k

1+4k2

設(shè)線段ST的中點為N，則N（-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

）…（7分）
以下分兩種情況：①當(dāng)k=0時，點T的坐標(biāo)為（2，0），線段ST的垂直平分線為y軸，
于是

QS

=(-2，-m)，

QT

=(2，-m)，由

QS

•

QT

≤4得：-2

2

≤m≤2

2

．
②當(dāng)k≠0時，線段ST的垂直平分線方程為y-

2k

1+4k2

=-

1

k

（x+

8k2

1+4k2

）
令x=0，得m=-

6k

1+4k2

∵k≠-

1

2

，∴m≠

3

2

，
由

QS

•

QT

=-2x₁-m（y₁-m）=

-2(2-8k2)

1+4k2

+

6k

1+4k2

（

4k

1+4k2

+

6k

1+4k2

）=

4(16k4+15k2-1)

(1+4k2)2

≤4
解得-

14

7

≤k≤

14

7

且k≠0，∴m=-

6k

1+4k2

=-

6

1 k +4k

∴當(dāng)-

14

7

≤k＜0時，

1

k

+4k≤-4；當(dāng)0＜k≤

14

7

時，

1

k

+4k≥4
∴-

3

2

≤m≤

3

2

，且m≠0
綜上所述，-

3

2

≤m＜

3

2

，且m≠0．…（12分）

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．