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        1. 精英家教網(wǎng)如圖所示,點(diǎn)F(
          p
          2
          ,0)(p>0)
          ,點(diǎn)P為拋物線C:y2=2px上的動(dòng)點(diǎn),P到y(tǒng)軸的距離PN滿足:|PF|=|PN|+
          1
          2
          ,直線l過點(diǎn)F,與拋物線交于A,B兩點(diǎn).
          (1)求拋物線C的方程;
          (2)設(shè)點(diǎn)Q(a,0)(a<0),若直線l垂直于x軸,且向量
          QA
          QB
          的夾角為
          π
          3
          ,求a的值;
          (3)設(shè)M為線段AB的中點(diǎn),求點(diǎn)M到直線y=x+1距離的最小值.
          分析:(1)根據(jù)題意,F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn),又|PF|等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-
          p
          2
          的距離,求出P值,最后寫出拋物線的方程即可.
          (2)過F的直線l與x軸垂直,不妨設(shè)A(
          1
          2
          ,1)
          ,因?yàn)锳,B關(guān)于x軸對稱,結(jié)合向量的夾角,得出向量
          QA
          與x軸所成的角為
          π
          6
          ,從而列出關(guān)于a的等式,即可求得a.
          (3)設(shè)直線AB的方程為x=my+
          1
          2
          ,將直線的方程代入拋物線的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用中點(diǎn)公式及點(diǎn)到直線的距離公式即可求得m值,從而解決問題.
          解答:解:(1)以題意,F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn),又|PF|等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-
          p
          2
          的距離,
          所以
          p
          2
          =
          1
          2
          ,p=1
          ,所以拋物線的方程為y2=2x.
          (2)過F的直線l與x軸垂直,不妨設(shè)A(
          1
          2
          ,1)
          ,
          因?yàn)锳,B關(guān)于x軸對稱,向量
          QA
          QB
          的夾角為
          π
          3
          ,則向量
          QA
          與x軸所成的角為
          π
          6

          又知Q(a,0),則
          1
          1
          2
          -a
          =
          3
          3
          ,得a=
          1
          2
          -
          3

          (3)設(shè)直線AB的方程為x=my+
          1
          2
          ,代入y2=2x得y2-2my-1=0.
          因?yàn)椤?4m2+4>0恒成立,所以直線x=my+
          1
          2
          與拋物線恒有兩個(gè)交點(diǎn).
          設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m2+
          1
          2
          ,m)

          所以點(diǎn)M到直線y=x+1的距離d=
          |m2+
          1
          2
          -m+1|
          2
          =
          (m-
          1
          2
          )
          2
          +
          5
          4
          2
          5
          2
          8

          當(dāng)且僅當(dāng)m=
          1
          2
          時(shí)取等號.
          所以點(diǎn)M到直線y=x+1距離的最小值為
          5
          2
          8
          點(diǎn)評:本小題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的綜合問題,考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.
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