Question

給出下述四個命題中：
①三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60°；
②四面體的三組對棱都是異面直線；
③閉區(qū)間[a，b]上的單調(diào)函數(shù)f（x）至多有一個零點；
④當(dāng)k＞0時，方程x²+ky²=1的曲線是橢圓．
其中正確的命題的個數(shù)有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：①利用三角形的內(nèi)角和定理計算．②作出圖形，利用異面直線的定義判斷即可．③根據(jù)反證法的證題步驟：假設(shè)結(jié)論不成立，即反設(shè)，再歸謬，最后導(dǎo)出矛盾，從而得到結(jié)論．④通過舉反例說明其不正確．
解答：解：①∵三角形的內(nèi)角和為180°，若三角都小于60°則不能構(gòu)成三角形，
∴三角形中至少有一個角不小于60°．故正確；
②作出四面體：
如圖所示，根據(jù)異面直線的定義可知：AB與CD、AD與BC、AC與BD皆分別為異面直線．故正確；
③假設(shè)函數(shù)y=f（x）的還有一個零點，設(shè)兩個零點分別為x₁，x₂，且x₁＜x₂．
因為函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的單調(diào)函數(shù)，
所以f（x₁）＞f（x₂），或f（x₁）＜f（x₂），這與f（x₁）=f（x₂）=0矛盾．
所以假設(shè)不成立．故原命題正確．
④若k=1，則方程x²+ky²=1的曲線是圓，故錯．
故選C．
點評：本小題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查三角形性質(zhì)，空間中的線面關(guān)系，函數(shù)的零點等，屬于基礎(chǔ)題．