Question

已知拋物線方程為y²=4x，過Q（2，0）作直線l．
①若l與x軸不垂直，交拋物線于A、B兩點，是否存在x軸上一定點E（m，0），使得∠AEQ=∠BEQ？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由？
②若L與X軸垂直，拋物線的任一切線與y軸和L分別交于M、N兩點，則自點M到以QN為直徑的圓的切線長|MT|為定值，試證之．

Answer 1

【答案】分析：①對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在x軸上一定點E（m，0），使得∠AEQ=∠BEQ，再利用設l的方程為：y=k（x-2），，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用斜率公式即可求得m值，從而解決問題．
②設P（x，y）在拋物線上，由拋物線的對稱性，不妨設y＞0，寫出切線方程，求出以QN為直徑的圓的圓心坐標，最后計算出以QN為直徑的圓的切線長|MT|為定值即可．
解答：解：①設l的方程為：y=k（x-2），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由消去得：，，y₁y₂=-8（2分）
若∠AEQ=∠BEQ，則k_AE+k_BC=0（3分）
即：（4分）⇒y₁x₂+y₂x₁-m（y₁+y₂）=0⇒-2（y₁+y₂）-m（y₁+y₂）=0⇒m=-2（6分）
故存在m=-2，使得∠AEQ=∠BEQ（7分）
②設P（x，y）在拋物線上，由拋物線的對稱性，不妨設y＞0，則過P點的切線斜率，切線方程為：，且（9分）
令，∴
令，∴（10分）
則以QN為直徑的圓的圓心坐標為，半徑（11分）
∴=
∴（13分）
點評：本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力．注意①的處理存在性問題的一般方法，首先假設存在，進而根據題意、結合有關性質，化簡、轉化、計算，最后得到結論．