Question

題目

某海濱城市坐落在一個(gè)三角形海域的頂點(diǎn)O處（如圖），一條海岸線AO在城市O的正東方向，另一條海岸線OB在城市O北偏東方向，位于城市O北偏東方向15km的P處有一個(gè)美麗的小島. 旅游公司擬開發(fā)如下一條旅游觀光線路：從城市O出發(fā)沿海岸線OA到達(dá)C處，再從海面直線航行，途經(jīng)小島P到達(dá)海岸線OB的D處，然后返回城市O. 為了節(jié)省開發(fā)成本，要求這條旅游觀光線路所圍成的三角形區(qū)域面積最小，問C處應(yīng)選址何處？并求這個(gè)三角形區(qū)域的最小面積.

Answer 1

解：以O(shè)為原點(diǎn)，直線OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系. 直線OB的傾斜角為 ，

從而直線OB的方程為y=3x.    …………………………… 2分                                         

由已知，|OP|=15，，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（9，12）.……………… 4分

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為 (t ，0)，則直線PC的方程為 ：，…… 5分

聯(lián)立y=3x，得，    ∴t ＞5. ……………… 7分

 ∴…………………………… 9分

 = =120. ………… 11分

上式當(dāng)且僅當(dāng)，即t=10時(shí)取等號(hào).

而當(dāng)時(shí)，

∴當(dāng)t=10時(shí)，S_△OCD取最小值120. …………………………… 14分

答：當(dāng)C地處于城市O正東方向10km處時(shí)，能使三角形區(qū)域面積最小，其最小面積為120(km)². …………………………… 16分