Question

對(duì)于△ABC內(nèi)的任何一點(diǎn)M，為了確定M的具體位置f（M），采用如下記法：f（M）=（x，y，z），x，y，z分別表示△MBC，△MCA，△MAB的面積，現(xiàn)有△ABC滿足

AB

•

AC

=2

3

且∠A=30°，設(shè)M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)（不在邊界上），當(dāng)f(M)=(x，y，

1

2

)，那么

1

x

+

4

y

的最小值為

18

．

Answer 1

分析：由向量的數(shù)量積公式得|

AB

|•|

AC

|•cos∠BAC=2

3

，從而|

AB

||

AC

|=4，再由題意得x+y的值，最后利用“1的代換”化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式求最值即可得答案．

解答：解：∵

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，
所以由向量的數(shù)量積公式得|

AB

|•|

AC

|•cos∠BAC=2

3

，
∴|

AB

||

AC

|=4，
∵S_△ABC=

1

2

|

AB

|•|

AC

|•sin∠BAC=1，
由題意得，x+y=1-

1

2

=

1

2

．
∴

1

x

+

4

y

=2（

1

x

+

4

y

）（x+y）=2（5+

y

x

+

4x

y

≥2（5+2

y x • 4x y

）=18，
等號(hào)在x=

1

6

，y=

1

3

取到，所以最小值為18．
故答案為：18．

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式的應(yīng)用和向量的數(shù)量積，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．