Question

（本小題滿分14分）

已知圓C過點P（1，1）且與圓M：關(guān)于直線對稱

（1）求圓C的方程

（2）設(shè)為圓C上一個動點，求的最小值

（3）過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A、B兩點，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標(biāo)原點，試判斷直線OP與AB是否平行，并請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

,,直線與平行

【解析】解：（1）依題意，可設(shè)圓的方程為，且、滿足方程組

                          ………………2分

由此解得  ．又因為點在圓上，所以

．故圓的方程為．…4分

（2）設(shè)則，且=         …………6分

設(shè)，則由與圓相交，求得的取值范圍為[-2，2]

則的最小值為了                                    …………8分

或者令,,則=

因為，則的最小值為了             …………8分

（3）由題意可知，直線和直線的斜率存在且互為相反數(shù)，

故可設(shè)所在的直線方程為，所在的直線方程為．…9分

由  消去，并整理得 ：

．  ①           …………10分 

設(shè)，又已知P 的橫坐標(biāo)1一定是該議程的根，則、1為方程①的兩相異實數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得  ．同理，若設(shè)點B ，則可得．…12分

于是  ＝=1．          ……13分

而直線的斜率也是1，且兩直線不重合，因此，直線與平行．…………14分