Question

已知O是線段AB外一點(diǎn)，若

OA

=

a

，

OB

=

b

．
（1）設(shè)點(diǎn)A₁、A₂是線段AB的三等分點(diǎn)，△OAA₁、△OA₁A₂及△OA₂B的重心依次為G₁、G₂、G₃，試用向量

a

、

b

表示

OG1

+

OG2

+

OG3

；
（2）如果在線段AB上有若干個(gè)等分點(diǎn)，你能得到什么結(jié)論？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由題意畫(huà)出圖形由于點(diǎn)A₁、A₂是線段AB的三等分點(diǎn)，又由于△OAA₁、△OA₁A₂及△OA₂B的重心依次為G₁、G₂、G₃，利用重心的性質(zhì)及向量的三角形法則求得用向量

a

、

b

表示

OG1

+

OG2

+

OG3

；
（2）由題意若在線段AB上有若干個(gè)等分點(diǎn)，有（1）的證明過(guò)程及結(jié)論可以逐漸得到結(jié)論，并且利用向量的加法及減法得到證明過(guò)程．

解答：解：（1）如圖：點(diǎn)A₁、A₂是線段AB的三等分點(diǎn)，

OG1

=

2

3

[

1

2

(

OA

+

OA1

)]=

1

3

(

OA

+

OA1

)，同理可得：

OG2

=

1

3

(

OA 1

+

OA2

)，

OG3

=

1

3

(

OA2

+

OB

)，
則

OG1

+

OG2

+

OG3

=

1

3

(

a

+

b

)+

2

3

(

OA1

+

OA2

)
=

1

3

(

a

+

b

)+

2

3

[

a

+

1

3

(

b

-

a

)+

a

+

2

3

(

b

-

a

)]
=(

a

+

b

)
（2）層次1：設(shè)A₁是AB的二等分點(diǎn)，則OA1=

a + b

2

；

OG1

+

OG2

=

2

3

(

a

+

b

)；
設(shè)A₁、A₂、A₃是AB的四等分點(diǎn)，則

OA1

+

OA2

+

OA3

=

3( a + b )

2

；
或設(shè)A₁，A₂，，A_n-1是AB的n等分點(diǎn)，則

OAk

+

OAn-k

=

OA

+

OB

，
層次2：設(shè)A₁，A₂，，A_n-1是AB的n等分點(diǎn)，

OA1

+

OA2

+

OA3

++

OAn-2

+

OAn-1

=

n( a + b )

2

，
層次3：設(shè)A₁，A₂，，A_n-1是AB的n等分點(diǎn)，
則

OG1

+

OG2

+

OG3

++

OGn-2

+

OGn-1

=

n( a + b )

3

；
證：

OG1

+

OG2

++

OGn-1

=

1

3

(

a

+

b

)+

2

3

(

OA1

+

OA2

++

OAn-1

)
=

1

3

(

a

+

b

)+

2

3

[

a

+

1

n

(

b

-

a

)+

a

+

2

n

(

b

-

a

)++

a

+

n-1

n

(

b

-

a

)]
=

1

3

(

a

+

b

)+

2

3

[(n-1)

a

+(

1

n

+

2

n

++

n-1

n

)

b

-(

1

n

+

2

n

++

n-1

n

)

a

]
=

1

3

(

a

+

b

)+

2

3

•

(n-1)

2

(

a

+

b

)=

n

3

(

a

+

b

)

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形重心的定義，向量的加法和減法，還考查了學(xué)生對(duì)于新問(wèn)題逐漸分析并合理聯(lián)想的能力．