Question

在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，B，離心率為

1

2

，右準線為l：x=4．M為橢圓上不同于A，B的一點，直線AM與直線l交于點P．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若

AM

=

MP

，判斷點B是否在以PM為直徑的圓上，并說明理由；
（3）連接PB并延長交橢圓C于點N，若直線MN垂直于x軸，求點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）由題意建立方程組

c a = 1 2 a2 c =4

可求a²和b²的值，可寫方程；
（2）要判斷點B是否在圓上，可轉化為判

BM

•

BP

是否為0；
（3）設點，寫出直線的方程，分別和橢圓方程聯(lián)立，可解得y_p=

6y1

x1+2

，和y_p=

-2y1

x1-2

，由兩式相等可解得M坐標．

解答：解：（1）由

c a = 1 2 a2 c =4

解得

a=2 c=1

所以b²=3．
所以橢圓方程為

x2

4

+

y

3

2=1．                             …（4分）
（2）因為，

AM

=

MP

，所以x_M=1，代入橢圓得y_M=

3

2

，即M（1，

3

2

），
所以直線AM為：y=

1

2

（x+2），得P（4，3），
所以

BM

=（-1，

3

2

），

BP

=（2，3）．                       …（8分）
因為

BM

•

BP

=

5

2

≠0，所以點B不在以PM為直徑的圓上．  …（10分）
（3）因為MN垂直于x軸，由橢圓對稱性可設M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁）．
直線AM的方程為：y=

y1

x1+2

（x+2），所以y_p=

6y1

x1+2

，
直線BN的方程為：y=

-y1

x1-2

（x-2），所以y_p=

-2y1

x1-2

，…（12分）
所以

6y1

x1+2

=

-2y1

x1-2

．因為y₁≠0，所以

6

x1+2

=-

2

x1-2

．解得x₁=1．
所以點M的坐標為（1，±

3

2

）．                        …（16分）

點評：本題為橢圓與直線的位置關系的考查，涉及向量的知識和圓的知識，屬中檔題．