Question

一個四棱錐的三視圖如圖所示．

（1）求這個四棱錐的全面積及體積；
（2）求證：PA⊥BD；
（3）在線段PD上是否存在一點Q，使二面角Q-AC-D的平面角為30°？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得該多面體的底面棱長及側高，代入面積公式可得其表面積；再計算出棱錐的高后，代入體積公式可得答案．
（2）由三視圖，可知四棱錐的底面是正方形，側面是全等的等腰三角形，所以該四棱錐是一個正四棱錐．作出它的直觀圖，根據線面垂直的判定與性質，可證出PA⊥BD；
（3）假設存在點Q，使二面角Q-AC-D的平面角為30°，由AC⊥平面PBD可得∠DOQ為二面角Q-AC-D的平面角，可證出在Rt△PDO中，OQ⊥PD，且∠PDO=60°，結合三角函數的計算可得=．
解答：解：（1）由已知的三視圖可得該棱錐的底面棱長為2，側面高為
則棱錐的底面積S_底=2×2=4，側面積S_側=4××2=4
∴棱錐的表面積
又∵棱錐的高h==
∴棱錐的體積V=•S_底•h==
證明：（2）連接BD，AC交點為O，連接PO
則O為正四棱錐在底面ABCD上的投影
∴PO⊥底面ABCD
∴PO⊥BD
又∵棱錐的底面ABCD為正方形
∴AC⊥BD
又∵PO∩AC=0
∴BD⊥平面PAC，
又∵PA?平面PAC，
∴PA⊥BD；
解：（3）由三視圖可知，BC=2，PA=2，假設存在這樣的D點
因為AC⊥OQ，AC⊥OD，
所以∠DOQ為二面角Q-AC-D的平面角
△PDO中，PD=2，OD=，則∠PDO=60°，
△DQO中，∠PDO=60°，且∠QOD=30°．
所以DP⊥OQ，所以OD=，QD=
=
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，由三視圖還原實物圖，其中（1）的關鍵是從已知的三視圖中分析出棱錐的形狀，（3）的關鍵是找出二面角Q-AC-D的平面角，再根據已知求出滿足條件的DQ的長．