Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足條件：對(duì)于任意的x，y∈R，f(x+y)=f(x)+f(y)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0。（1）求f(0)的值；
（2）討論f(x)的奇偶性和單調(diào)性；
（3）當(dāng)x＞0時(shí)，對(duì)于f(x)總有f(1-m)+f(1-m²)＜0，求m的取值范圍。

Answer 1

解：（1）取x=y=0，得，
∴。
（2）取y=-x，則，
∴，即為奇函數(shù)；
設(shè)，則
，
所以，在R上單調(diào)遞減。
（3）f(1-m)+f(1-m²)＜0，
∵f(0)=0，
∴f(1-m)+f(1-m²)＜f(0)，
∵f(x+y)=f(x)+f(y)，
∴f(1-m+1-m²)＜f(0)，
∵f(x)在R上單調(diào)遞減，當(dāng)x＞0時(shí)，對(duì)于f(x)總有f(1-m)+f(1-m²)＜0，
∴原不等式的解集等價(jià)于，
化簡(jiǎn)，得，即-1＜m＜1，
∴m的取值范圍是（-1，1）。