Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

12

1•3

+

22

3•5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n(n+1)

2(2n+1)

(n∈N*)．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是數(shù)學(xué)歸納法，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納的步驟，我們要先論證n=1時，

12

1•3

+

22

3•5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n(n+1)

2(2n+1)

(n∈N*)成立，再假設(shè)n=k時

12

1•3

+

22

3•5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n(n+1)

2(2n+1)

(n∈N*)也成立，并由此證明n=k+1時，

12

1•3

+

22

3•5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n(n+1)

2(2n+1)

(n∈N*)也成立，最后得到

12

1•3

+

22

3•5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n(n+1)

2(2n+1)

(n∈N*)恒成立．

解答：證明（1）n=1時，
左邊

12

(2×1-1)(2×1+1)

=

1

3

=

1×(1+1)

2(2×1+1)

=右邊，等式成立
（2）假設(shè)n=k時等式成立，
即

12

1•3

+

22

3•5

++

k2

(2k-1)(2k+1)

=

k(k+1)

2(2k+1)

.
則n=k+1時，
左邊=

k(k+1)

2(2k+1)

+

(k+1)2

(2k+1)(2k+3)

=

k-1

2(2k+1)

(k+

2k+2

2k+3

)
=

k+1

2(2k+1)

•

2k2+5k+2

2k+3

=

k+1

2(2k+1)

•

(2k+1)(k+2)

2k+3

=

(k+1)(k+2)

2(2k+3)

.
∴n=k+1時，等式成立
由（1）（2）知，對一切n∈N*，

12

1•3

+

22

3•5

++

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n(n+1)

2(2n+1)

.

點評：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．