Question

已知直角坐標平面中有兩個定點M（-1，0）、N（1，0），問在此平面內是否存在一點P，使得下面兩個條件：
（1）P到M的距離與P到點N距離的比為

2

（2）點N到直線PM的距離為

2

同時成立？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y），由（1）的條件P到點M（-1，0）距離與到點N（1，0）距離的比為

2

，利用兩點間的距離公式可得

|PM|

|PN|

=

2

，

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=

2

，化簡即可得到一個方程；
（2）令l_PM：y=k（x+1），kx-y+k=0可得點N到直線PM的距離d=

|2k|

k2+1

=

2

，即可解得k．與（1）圓的方程聯立即可解得．

解答：解：（1）設P（x，y），因P到點M（-1，0）距離與到點N（1，0）距離的比為

2

．
即

|PM|

|PN|

=

2

，

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=

2

，
化簡得：x²-6x+y²+1=0．
（2）令l_PM：y=k（x+1），kx-y+k=0
點N到直線PM的距離d=

|2k|

k2+1

=

2

，k=±1．
∴直線PM方程是y=±（x+1）．
由

y=±(x+1) x2-6x+y2+1=0

得：x²-2x+1=0，解得x=1．
代入得y²=4，解得y=±2．
∴P（1，±2）．
所以存在這樣的P點（1，2）、（1，-2）使條件（1）（2）同時成立．

點評：熟練掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系等是解題的關鍵．