Question

已知正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P是DD₁的中點(diǎn)，且截面EAC與底面ABCD成45°角，AA₁＝2a，AB＝a，

(1)設(shè)Q是BB₁上一點(diǎn)，且BQa，求證：DQ⊥面EAC；

(2)判斷BP與面EAC是否平行，并說明理由？

(3)若點(diǎn)M在側(cè)面BB₁C₁C及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總保持AM⊥BP，試確定動(dòng)點(diǎn)M所在的位置．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)證：首先易證ACDQ，再證EODQ(O為AC與BD的交點(diǎn))在矩形BDD1B1中，可證EDO與BDQ都是直角三角形，由此易證EODQ，故DQ面EAC得證； 　　(2)若BP與面EAC平行，則可得BP∥EO，在三角形BPD中，O是BD中點(diǎn)，則E也應(yīng)是PD中點(diǎn)，但PD＝DD1＝a，而ED＝DO＝BD＝a，故E不是PD中點(diǎn)，因此BP與面EAC不平行； 　　(3)易知，BPAC，要使AMBP，則M一定在與BP垂直的平面上，取BB1中點(diǎn)N，易證BP面NAC，故M應(yīng)在線段NC上．