Question

已知雙曲線C的兩個焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，實(shí)半軸長與虛半軸長的乘積為，直線l過點(diǎn)F₂，且與線段F₁F₂的夾角為α，，直線l與線段F₁F₂的垂直平分線的交點(diǎn)為P，線段PF₂與雙曲線的交點(diǎn)為Q，且，求雙曲線方程．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，和Q的坐標(biāo)，過Q做x軸垂線，垂足為A，|根據(jù)，|PQ|：|QF₂|=|OA|：|AF|和|OA|+|AF|=c，推斷出：|OA|=c=x，|AF₂|=，進(jìn)而根據(jù)tanα求得y的表達(dá)式，則Q點(diǎn)坐標(biāo)可知，代入橢圓方程同時利用c²=a²+b²轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程，求得的值，進(jìn)而根據(jù)ab=聯(lián)立求得a和b，則雙曲線的方程可得．
解答：解：雙曲線方程為=1，Q（x，y），F(xiàn)₂（c，0），
過Q做x軸垂線，垂足為A，|PQ|：|QF₂|=2：1=|OA|：|AF|，|OA|+|AF|=c，
所以：|OA|=c=x，|AF₂|=，
tanα==
∴y=，即：Q（C，）
代入方程，-=1，
∵c²=a²+b²代入，化簡：
--41=0，
令=k，
16k²-41k-21=0，
（k-3）（16k+7）=0，
k=3或-（負(fù)舍）
即：=3，又ab=，解方程組，得
a=1，b=，
故雙曲線方程為：x²-=1．
點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解題的關(guān)鍵是盡可能多的從條件中挖掘有效信息，綜合運(yùn)用所學(xué)知識．