Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+ax²+bx．
（Ⅰ）當(dāng)a=0，b=-1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（t，f（t））（0＜t＜1）處的切線為l，直線l與y軸相交于點(diǎn)Q．若點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)恒小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)a=0，b=-1時(shí)，f（x）=e^x-x，f′（x）=e^x-1，分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出其單調(diào)區(qū)間．
（II）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x）=e^x+2ax+b，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得：函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（t，f（t））（0＜t＜1）處的切線l的斜率k=f′（t）=e^t+2at+b，
即可得到切線l的方程為y-（e^t+at²+bt）=（e^t+2at+b）（x-t）．令x=0，得y=（1-t）e^t-at²（0＜t＜1）．當(dāng)0＜t＜1時(shí)，要使得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)恒小于1，只需（1-t）e^t-at²＜1，即（t-1）e^t+at²+1＞0（0＜t＜1）．
令g（t）=（t-1）e^t+at²+1，利用導(dǎo)數(shù)通過分類討論即可得到其單調(diào)性．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=0，b=-1時(shí)，f（x）=e^x-x，f′（x）=e^x-1，
∴當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．
（Ⅱ）∵f′（x）=e^x+2ax+b，
∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（t，f（t））（0＜t＜1）處的切線l的斜率k=f′（t）=e^t+2at+b，
∴切線l的方程為y-（e^t+at²+bt）=（e^t+2at+b）（x-t），
令x=0，得y=（1-t）e^t-at²（0＜t＜1）．
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，要使得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)恒小于1，
只需（1-t）e^t-at²＜1，即（t-1）e^t+at²+1＞0（0＜t＜1）．
令g（t）=（t-1）e^t+at²+1，
則g′（t）=t（e^t+2a），
∵0＜t＜1，∴1＜e^t＜e，
①若2a≥-1即a≥-

1

2

時(shí)，e^t+2a＞0，
∴當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，g′（t）＞0，即g（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，
∴g（t）＞g（0）=0恒成立，∴a≥-

1

2

滿足題意．
②若2a≤-e，即a≤-

e

2

時(shí)，e^t+2a＜0．
∴當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，g′（t）＜0，即g（t）在（0，1）上單調(diào)遞減．
∴g（t）＜g（0），∴a≤-

e

2

時(shí)不滿足條件．
③若-e＜2a＜-1，即-

e

2

＜a＜-

1

2

時(shí)，0＜ln（-2a）＜1．列表如下：

t	（0，ln（-2a））	ln（-2a）	（ln（-2a），1）
g′（t）	-	0	+
g（t）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∴g（ln（-2a））＜g（0）=0，∴-

e

2

＜a＜-

1

2

不滿足題意．
綜上①②③可得：當(dāng)a≥-

1

2

時(shí)，g（t）＞0，0＜t＜1．此時(shí)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)恒小于1．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．