Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-|x|-k²，下列判斷：
①存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
②存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；
③存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)f（x）有且僅有三個(gè)零點(diǎn)；
④存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)f（x）有且僅有四個(gè)零點(diǎn)．
其中正確的是

②③

（填相應(yīng)的序號(hào)）．

Answer 1

分析：將方程x²-|x|-k²=0的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)y=x²-|x|與函數(shù)y=k²圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，畫出圖象可得．

解答：解：關(guān)于x的方程x²-|x|-k²=0，可化為x²-|x|=k²． 
分別畫出函數(shù)y=x²-|x|和y=k²的圖象，如圖所示：
由圖可知，它們的交點(diǎn)情況是：恰有2，或3個(gè)不同的交點(diǎn)．
當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)y=x²-|x|和y=k²的圖象又3個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)f（x）有且僅有三個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)k≠0時(shí)，函數(shù)y=x²-|x|和y=k²的圖象又2個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)f（x）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．
故答案為 ②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，以及函數(shù)與方程的思想，解答關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．