Question

【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的零點(diǎn);

(2)當(dāng),求函數(shù)在上的最大值;

(3)對(duì)于給定的正數(shù)a,有一個(gè)最大的正數(shù),使時(shí),都有,試求出這個(gè)正數(shù),并求它的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1);(2);(3),.

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義可解得；

（2）先對(duì)分和兩種情況討論，然后對(duì)再分和兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)可求得；

（3）因?yàn)?/span>時(shí),,故問題只需在給定的區(qū)間內(nèi)恒成立,再按照 和兩種情況分類討論，即可得到結(jié)論.

(1)令，得,

當(dāng)時(shí),方程化簡(jiǎn)為:,

解得: (舍去)或(舍),

當(dāng)時(shí),方程化簡(jiǎn)為:,

解得:(舍去),或,

∴.

(2)當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以在時(shí)取得最大值1；

當(dāng)時(shí)，，其對(duì)稱軸為，

若，即時(shí)，在上的最大值為，

若即時(shí)，在上的最大值為，

綜上所述：函數(shù)在上的最大值為

(3)∵當(dāng)時(shí),,故問題只需在給定的區(qū)間內(nèi)恒成立,

由,分兩種情況討論:

當(dāng)時(shí),即時(shí),

是方程的較小根

當(dāng)時(shí),即時(shí),

是方程的較大根,

綜上,且.