Question

若f(x)=|lgx|，0＜a＜b，f(a)=f(b)=2f(

a+b

2

)，則b的值所在的區(qū)間為（　�。�

• A、（1，2）
• B、（2，3）
• C、（3，4）
• D、（4，5）

Answer 1

分析：結(jié)合f（x）的圖象和已知條件，先找出a和b的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是判斷a和b與1的大小，去絕對(duì)值，再找出

a+b

2

和a或b的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為求方程根的范圍，利用零點(diǎn)的存在性定理解決．

解答：解：f(x)=|lgx|=

lgx      lgx＞0 -lgx     lgx＜0

=

lgx   x＞1 -lgx  x＜1

故f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，且f（x）＞0．
由0＜a＜b，f（a）=f（b）得0＜a＜1，b＞1，故-lga=lgb，即lga+lgb=lgab=0，ab=1．
∴

a+b

2

＞

ab

=1，∴lg

a+b

2

＞0
由f(b)=2f(

a+b

2

)得lgb=2lg

a+b

2

=lg(

a+b

2

)2，所以b= (

a+b

2

)2
由ab=1得4b=(

1

b

+b)2，令g（b）=4b-(

1

b

+b)2，則g（3）＜0，g（4）＞0，故b∈（3，4）
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、方程的根和函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)．