Question

 （2009福建卷理）（本小題滿分13分）

如圖，某市擬在長(zhǎng)為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)

賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)

y=Asinx(A>0, >0) x[0,4]的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為

S(3，2)；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽

運(yùn)動(dòng)員的安全，限定MNP=120

（I）求A , 的值和M，P兩點(diǎn)間的距離；

（II）應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道MNP最長(zhǎng)？                                                  

Answer 1

本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，

解法一

（Ⅰ）依題意，有，，又，。

當(dāng) 是，

 又

（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，

設(shè)∠PMN=，則0°<<60°

由正弦定理得

,

故

0°<<60°，當(dāng)=30°時(shí)，折線段賽道MNP最長(zhǎng)

亦即，將∠PMN設(shè)計(jì)為30°時(shí)，折線段道MNP最長(zhǎng)

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，

由余弦定理得∠MNP=

即

故

從而，即

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，折線段道MNP最長(zhǎng)

注：本題第（Ⅱ）問(wèn)答案及其呈現(xiàn)方式均不唯一，除了解法一、解法二給出的兩種設(shè)計(jì)方式，還可以設(shè)計(jì)為：①；②；③點(diǎn)N在線段MP的垂直平分線上等