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        1. 已知函數(shù)f(x)=ln(1+x2)+ax(a≤0).

          (Ⅰ)若f(x)在x=0處取得極值,求a的值;

          (Ⅱ)討論f(x)的單調(diào)性;

          (Ⅲ)證明:(1+)(1+)…(1+)(n∈N+,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

          (Ⅰ)∵f′(x)=,∵x=0使f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)則f′(0)=0*a=0,驗(yàn)證知a=0符合條件 

          (Ⅱ)∵f′(x)=

          i)若a=0時(shí), ∵f′(x)   f′(x)<0x<0

          ∴f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,在(-∞,0)單調(diào)遞減 

          ii)若時(shí),f′(x)≤0時(shí),x∈R恒成立,

          ∴f(x)在R上單調(diào)遞減

          iii)若-1<a<0時(shí),由f′(x)>0*ax2+2x+a>0

          再令f′(x)<0,可得x>

          ∴f(x)在單調(diào)遞增,

          在(-∞,)和(,+∞)上單調(diào)遞減

          綜上所述,若a≤-1時(shí),f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減;若-1<a<0時(shí),f(x)在(,)單調(diào)遞減

          上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞減

          若a=0時(shí),f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,在(-∞,0)單調(diào)遞減 

          (Ⅲ)由(Ⅱ)知,當(dāng)a=-1時(shí),f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減

          當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),由f(x)<f(0)=0  ∴l(xiāng)n(1+x2)<x 

          ∴l(xiāng)n[(1+)(1+)…(1+)]

          =(1+)+ln(1+)+…+ln(1+)<

          ∴(1+)(1+)…(1+)<,命題得證.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3-
          3
          2
          ax2-(a-3)x+b

          (1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實(shí)數(shù)a,b的值:
          (2)當(dāng)a<3時(shí),令g(x)=
          f′(x)
          x
          ,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          2
          x2-alnx
          的圖象在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
          (1)求出函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式和切線l的方程;
          (2)當(dāng)x∈[
          1
          e
          ,e]
          時(shí)(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
          12
          x2+a
          (a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
          (1)求直線l的方程及a的值;
          (2)當(dāng)k>0時(shí),試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個(gè)數(shù).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          13
          x3+x2+ax

          (1)討論f(x)的單調(diào)性;
          (2)設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,若過(guò)兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f(x)上,求a的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=x3-
          32
          ax2+b
          ,a,b為實(shí)數(shù),x∈R,a∈R.
          (1)當(dāng)1<a<2時(shí),若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
          (2)在(1)的條件下,求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
          (3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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          同步練習(xí)冊(cè)答案