Question

【題目】證明：存在無(wú)數(shù)個(gè)滿足如下條件的整數(shù)組(a,b,c,d)：

（1）a>c>0，(a,c)=1；

（2）對(duì)任意給定的正整數(shù)k，恰有k個(gè)正整數(shù)n，使得(an+b)|(cn+d)。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

當(dāng)k=1時(shí)，，顯然，a>c>0，(a,c)=1.

當(dāng)n≥2時(shí)，an+b>(a-1)n+b+1>0.

而當(dāng)n=1時(shí)，(an+b)|[(a-1)n+b+1].

故這樣的整數(shù)組(a,b,c,d)有無(wú)數(shù)個(gè).

當(dāng)k≥2時(shí)，令a=2，b=1，c=1，，其中，p為任一奇素?cái)?shù)，滿足條件(1).

若，設(shè)

則.

易知，.

因?yàn)閚為正整數(shù)，所以，.

故恰有k個(gè)解恰有k個(gè)解.

滿足條件(2).

又這樣的奇素?cái)?shù)p有無(wú)限個(gè)，則(a,b,c,d)有無(wú)數(shù)組.

綜上，原問(wèn)題得證.