Question

在幾何體ABCDE中，∠BAC=

π

2

，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AB=AC=BE=2，CD=1
（1）求證：DC∥平面ABE；
（2）求證：AF⊥平面BCDE；
（3）求證：平面AFD⊥平面AFE．

Answer 1

分析：（1）要證明DC∥平面ABE，關(guān)鍵是要在平面ABE中找到可能與DC平行的直線，觀察發(fā)現(xiàn)BE滿足要求，根據(jù)已知證明BE∥DC，再根據(jù)線面平行的判定定理即可求解．
（2）要證明AF⊥平面BCDE，由我們要證明AF與平面BCDE中兩條相交直線都垂直，由題意分析易證DC、BC均為AF垂直；
（3）由（2）的結(jié)論，我們不難證明EF⊥平面AFD，我們?cè)儆擅婷娲怪钡呐卸ǘɡ�，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，
∴DC∥EB，
又∵DC?平面ABE，
EB?平面ABE，
∴DC∥平面ABE，
（2）∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥AF，
又∵AF⊥BC，
∴AF⊥平面BCDE，
（3）由（2）知AF⊥平面BCDE，
∴AF⊥EF，在三角形DEF中，由計(jì)算知DF⊥EF，
∴EF⊥平面AFD，又EF?平面AFE，
∴平面AFD⊥平面AFE．

點(diǎn)評(píng)：線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據(jù)．垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來．